Математик - геометр, профессор Смоленского педагогического института.
Родился в семье учителей Фленовской (Талашкинской) школы, созданной М.К. Тенишевой. В 1929 году окончил педагогический факультет (физико-техническое отделение) Смоленского государственного университета, где был учеником П.С. Александрова. в 1947 году - аспирантуру при МГУ. В 1947 году стал кандидатом физико-математических наук, в 1948 - доцентом, в 1968 - профессором.
Преподавал математику в Смоленском педагогическом институте (1933-1941, 1947-1985), заведовал кафедрой геометрии и алгебры, некоторое время был проректором института. Участник Великой Отечественной войны. Основные научные интересы были связаны с проективной геометрией. Автор учебников для студентов педагогического институтов: «Геометрические построения на плоскости» (1955), «Элементарная геометрия» (1966).
Б.И. Аргунов активно сотрудничал с редакцией студенческой газеты физмата «Факел».
Борис Иванович хорошо играл на фортепиано. Умение играть пригодилось ему при обучении в Москве в аспирантуре МГУ. По вечерам он зарабатывал на жизнь, подыгрывая на спектаклях в московских театрах.
Умер Борис Иванович 6 мая 1985 года.