 ===============================================================================
 «Публичная библиотека» (http://publ.lib.ru)
 ===============================================================================
 Библиотека математического кружка
 Выпуск 15
 В.В. Прасолов
 Задачи по планиметрии
 Часть 1
 Издание второе, переработанное и дополненное
 Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1991

 ББК 22.151.0
 П70
 УДК 514.112

 Серия «Библиотека математического кружка» издается с 1950 года
 Рецензент доктор физико-математических наук профессор Э.Г. Позняк

 Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1. - 2-е издание, переработанное и дополненное. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1991. - 320 с. - (Библиотека математического кружка. Выпуск 15).
 ISBN 5-02-014642-0 (Ч. 1)
 Включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник выходит в двух частях. Для второго издания (1-е изд. - 1986 г.) книга существенно переработана: добавлены новые задачи, принята подробная рубрикация по методам решения геометрических задач. В часть 1 вошли задачи по классическим (школьным) разделам планиметрии. Часть 1 содержит почти 1000 задач с полными решениями и более 100 задач для самостоятельного решения.
 Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
 Ил. 142.

 ББК 22.151.0

 ОГЛАВЛЕНИЕ:
 Предисловие (7).
 Глава I. Подобные треугольники (9).
 §1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми (10).
 §2. Отношение сторон подобных треугольников (11).
 §3. Отношение площадей подобных треугольников (13).
 §4. Вспомогательные равные треугольники (14).
 §5. Треугольник, образованный основаниями высот (15).
 §6. Подобные фигуры (16).
 Задачи для самостоятельного решения (17).
 Решения (18).
 Глава 2. Вписанный угол (30).
 §1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31).
 §2. Величина угла между двумя хордами (32).
 §3. Угол между касательной и хордой (33).
 §4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34).
 §5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (35).
 §6. Вписанный угол и подобные треугольники (36).
 §7. Биссектриса делит дугу пополам (38).
 §8. Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (38).
 §9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (39).
 §10. Точка Микеля (40).
 §11. Разные задачи (40).
 Задачи для самостоятельного решения (41).
 Решения (42).
 Глава 3. Окружности (57).
 §1. Касательные к окружностям (58).
 §2. Произведение длин отрезков хорд (59).
 §3. Касающиеся окружности (60).
 §4. Три окружности одного радиуса (61).
 §5. Две касательные, проведенные из одной точки (62).
 §6. Применение теоремы о высотах треугольника (63).
 §7. Площади криволинейных фигур (63).
 §8. Окружности, вписанные в сегмент (64).
 §9. Разные задачи (65).
 §10. Радикальная ось (65).
 Задачи для самостоятельного решения (67).
 Решения (68).
 Глава 4. Площадь (82).
 §1. Медиана делит площадь пополам (83).
 §2. Вычисление площадей (83).
 §3. Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник (84).
 §4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник (85).
 §5. Разные задачи (86).
 §6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части (87).
 §7. Формулы для площади четырехугольника (88).
 §8. Вспомогательная площадь (88).
 §9. Перегруппировка площадей (90).
 Задачи для самостоятельного решения (91).
 Решения (92).
 Глава 5. Треугольники (104).
 §1. Вписанная и описанная окружности (105).
 §2. Прямоугольные треугольники (106).
 §3. Правильный треугольник (107).
 §4. Треугольники с углами 60° и 120° (108).
 §5. Целочисленные треугольники (108).
 §6. Разные задачи (109).
 §7. Теорема Менелая (111).
 §8. Теорема Чевы (113).
 §9. Прямая Симеона (116).
 §10. Подерный треугольник (117).
 §11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (118).
 §12. Точки Брокара (119).
 §13. Точка Лемуана (121).
 Задачи для самостоятельного решения (122).
 Решения (123).
 Глава б. Многоугольники (150).
 §1. Вписанные и описанные четырехугольники (150).
 §2. Четырехугольники (152).
 §3. Теорема Птолемея (154).
 §4. Пятиугольники (155).
 §5. Шестиугольники (155).
 §6. Правильные многоугольники (156).
 §7. Вписанные и описанные многоугольники (159).
 §8. Произвольные выпуклые многоугольники (160).
 §9. Теорема Паскаля (160).
 Задачи для самостоятельного решения (161).
 Решения (162).
 Глава 7. Геометрические места точек (184).
 §1. ГМТ - прямая или отрезок (185).
 §2. ГМТ - окружность или дуга окружности (185).
 §3. Вписанный угол (186).
 §4. Вспомогательные равные треугольники (187).
 §5. Гомотетия (187).
 §6. Метод ГМТ (187).
 §7. ГМТ с ненулевой площадью (188).
 §8. Теорема Карно (188).
 §9. Окружность Ферма - Аполлония (189).
 Задачи для самостоятельного решения (190).
 Решения (191).
 Глава 8. Построения (200).
 §1. Метод геометрических мест точек (201).
 §2. Вписанный угол (201).
 §3. Подобные треугольники и гомотетия (201).
 §4. Построение треугольников по различным элементам (202).
 §5. Построение треугольников по различным точкам (202).
 §6. Треугольник (203).
 §7. Четырехугольники (203).
 §8. Окружности (204).
 §9. Окружность Аполлония (204).
 §10. Разные задачи (205).
 §11. Необычные построения (205).
 §12. Построения одной линейкой (206).
 §13. Построения с помощью двусторонней линейки (207).
 §14. Построения с помощью прямого угла (207).
 Задачи для самостоятельного решения (208).
 Решения (208).
 Глава 9. Геометрические неравенства (227).
 §1. Медиана треугольника (228).
 §2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника (228).
 §3. Сумма длин диагоналей четырехугольника (229).
 §4. Разные задачи на неравенство треугольника (229).
 §5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон (230).
 §6. Неравенства с площадями (230).
 §7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой (232).
 §8. Ломаные внутри квадрата (233).
 §9. Четырехугольник (233).
 §10. Многоугольники (234).
 §11. Разные задачи (236).
 Задачи для самостоятельного решения (236).
 Приложение. Некоторые неравенства (237).
 Решения (238).
 Глава 10. Неравенства для элементов треугольника (261).
 §1. Медианы (261).
 §2. Высоты (261).
 §3. Биссектрисы (262).
 §4. Длины сторон (262).
 §5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей (262).
 §6. Симметричные неравенства для углов треугольника (262).
 §7. Неравенства для углов треугольника (263).
 §8. Неравенства для площади треугольника (264).
 §9. Против большей стороны лежит больший угол (264).
 §10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны (265).
 §11. Неравенства для прямоугольных треугольников (265).
 §12. Неравенства для остроугольных треугольников (266).
 §13. Неравенства в треугольниках (266).
 Задачи для самостоятельного решения (267).
 Решения (268).
 Глава 11. Задачи на максимум и минимум (282).
 §1. Треугольник (282).
 §2. Экстремальные точки треугольника (284).
 §3. Угол (284).
 §4. Четырехугольник (285).
 §5. Многоугольники (285).
 §6. Разные задачи (286).
 §7. Экстремальные свойства правильных многоугольников (287).
 Задачи для самостоятельного решения (287).
 Решения (288).
 Глава 12. Вычисления и метрические соотношения (301).
 §1. Теорема синусов (301).
 §2. Теорема косинусов (302).
 §3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (303).
 §4. Длины сторон, высоты, биссектрисы (303).
 §5. Синусы и косинусы углов треугольника (304).
 §6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника (304).
 §7. Вычисление углов (305).
 §8. Окружности (306).
 §9. Разные задачи (307).
 §10. Метод координат (308).
 Задачи для самостоятельного решения (308).
 Решения (309).

 Научно-популярное издание
 Прасолов Виктор Васильевич
 ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
 Часть 1
 Серия «Библиотека математического кружка», выпуск 15.
 Заведующий редакцией А.П. Баева
 Редактор Т.А. Панькова
 Художественный редактор Г.М. Коровина
 Технический редактор Л.В. Лихачева
 Корректоры М.А. Смирнов, Н.Д. Дорохова
 Сдано в набор 12.07.90. Подписано к печати 05.05.91. Тираж 77000 экз. Цена 2 руб. 50 к.
 Издательско-производствеиное и книготорговое объединение «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. Москва.
 ===============================================================================
 *** О П И С А Н И Е * И З Д А Н И Я *** 5.4 ***
 ===============================================================================
 |ТИТУЛ ВЕБ-СТРАНИЦЫ¦ «Библиотека математического кружка» (серия)
 |СЕРИЯ, ГОД, НОМЕР ¦ Выпуск 15.
 |АВТОРЫ... НАЗВАНИЕ¦ Прасолов Б.В._ Задачи по планиметрии. Часть 1.
 |НАЗВАНИЕ ОРИГИНАЛА¦
 |ЖАНР-ФОРМА-ВИД-ТИП¦ 2-е издание, переработанное и дополненное. Научно-популярное издание.
 Автор: Виктор Васильевич Прасолов.
 |ИЗДАТЕЛЬ. - СЕРИЯ ¦ Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1991. - Серия «Библиотека математического кружка». Выпуск 15.
 |АВТОРЫ ФАЙЛА И OCR¦ Скан, обработка, формат Djv, Pdf: derevyaha, fire_varan, доработка: звездочет, 2025
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ПАПКИ¦ ''Biblioteka_matematicheskogo_krujka''_(seriya)
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ СЕРИИ¦ Vypusk_15.
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ФАЙЛА¦ ''Biblioteka_matematicheskogo_krujka''._Vyp.15.(1991)
 |ДОПОЛНЕНИЯ К ИМЕНИ¦ [djv] [pdf]
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ОБЛ. ¦ Bmk1591
 |АННОТАЦИЯ ИЗДАНИЯ ¦ ИЗ ИЗДАНИЯ:
 Включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник выходит в двух частях. Для второго издания (1-е изд. - 1986 г.) книга существенно переработана: добавлены новые задачи, принята подробная рубрикация по методам решения геометрических задач. В часть 1 вошли задачи по классическим (школьным) разделам планиметрии. Часть 1 содержит почти 1000 задач с полными решениями и более 100 задач для самостоятельного решения.
 Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
 |СОДЕРЖАНИЕ ИЗДАНИЯ¦ ОГЛАВЛЕНИЕ:
 Предисловие (7).
 Глава I. Подобные треугольники (9).
 §1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми (10).
 §2. Отношение сторон подобных треугольников (11).
 §3. Отношение площадей подобных треугольников (13).
 §4. Вспомогательные равные треугольники (14).
 §5. Треугольник, образованный основаниями высот (15).
 §6. Подобные фигуры (16).
 Задачи для самостоятельного решения (17).
 Решения (18).
 Глава 2. Вписанный угол (30).
 §1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31).
 §2. Величина угла между двумя хордами (32).
 §3. Угол между касательной и хордой (33).
 §4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34).
 §5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (35).
 §6. Вписанный угол и подобные треугольники (36).
 §7. Биссектриса делит дугу пополам (38).
 §8. Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (38).
 §9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (39).
 §10. Точка Микеля (40).
 §11. Разные задачи (40).
 Задачи для самостоятельного решения (41).
 Решения (42).
 Глава 3. Окружности (57).
 §1. Касательные к окружностям (58).
 §2. Произведение длин отрезков хорд (59).
 §3. Касающиеся окружности (60).
 §4. Три окружности одного радиуса (61).
 §5. Две касательные, проведенные из одной точки (62).
 §6. Применение теоремы о высотах треугольника (63).
 §7. Площади криволинейных фигур (63).
 §8. Окружности, вписанные в сегмент (64).
 §9. Разные задачи (65).
 §10. Радикальная ось (65).
 Задачи для самостоятельного решения (67).
 Решения (68).
 Глава 4. Площадь (82).
 §1. Медиана делит площадь пополам (83).
 §2. Вычисление площадей (83).
 §3. Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник (84).
 §4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник (85).
 §5. Разные задачи (86).
 §6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части (87).
 §7. Формулы для площади четырехугольника (88).
 §8. Вспомогательная площадь (88).
 §9. Перегруппировка площадей (90).
 Задачи для самостоятельного решения (91).
 Решения (92).
 Глава 5. Треугольники (104).
 §1. Вписанная и описанная окружности (105).
 §2. Прямоугольные треугольники (106).
 §3. Правильный треугольник (107).
 §4. Треугольники с углами 60° и 120° (108).
 §5. Целочисленные треугольники (108).
 §6. Разные задачи (109).
 §7. Теорема Менелая (111).
 §8. Теорема Чевы (113).
 §9. Прямая Симеона (116).
 §10. Подерный треугольник (117).
 §11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (118).
 §12. Точки Брокара (119).
 §13. Точка Лемуана (121).
 Задачи для самостоятельного решения (122).
 Решения (123).
 Глава б. Многоугольники (150).
 §1. Вписанные и описанные четырехугольники (150).
 §2. Четырехугольники (152).
 §3. Теорема Птолемея (154).
 §4. Пятиугольники (155).
 §5. Шестиугольники (155).
 §6. Правильные многоугольники (156).
 §7. Вписанные и описанные многоугольники (159).
 §8. Произвольные выпуклые многоугольники (160).
 §9. Теорема Паскаля (160).
 Задачи для самостоятельного решения (161).
 Решения (162).
 Глава 7. Геометрические места точек (184).
 §1. ГМТ - прямая или отрезок (185).
 §2. ГМТ - окружность или дуга окружности (185).
 §3. Вписанный угол (186).
 §4. Вспомогательные равные треугольники (187).
 §5. Гомотетия (187).
 §6. Метод ГМТ (187).
 §7. ГМТ с ненулевой площадью (188).
 §8. Теорема Карно (188).
 §9. Окружность Ферма - Аполлония (189).
 Задачи для самостоятельного решения (190).
 Решения (191).
 Глава 8. Построения (200).
 §1. Метод геометрических мест точек (201).
 §2. Вписанный угол (201).
 §3. Подобные треугольники и гомотетия (201).
 §4. Построение треугольников по различным элементам (202).
 §5. Построение треугольников по различным точкам (202).
 §6. Треугольник (203).
 §7. Четырехугольники (203).
 §8. Окружности (204).
 §9. Окружность Аполлония (204).
 §10. Разные задачи (205).
 §11. Необычные построения (205).
 §12. Построения одной линейкой (206).
 §13. Построения с помощью двусторонней линейки (207).
 §14. Построения с помощью прямого угла (207).
 Задачи для самостоятельного решения (208).
 Решения (208).
 Глава 9. Геометрические неравенства (227).
 §1. Медиана треугольника (228).
 §2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника (228).
 §3. Сумма длин диагоналей четырехугольника (229).
 §4. Разные задачи на неравенство треугольника (229).
 §5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон (230).
 §6. Неравенства с площадями (230).
 §7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой (232).
 §8. Ломаные внутри квадрата (233).
 §9. Четырехугольник (233).
 §10. Многоугольники (234).
 §11. Разные задачи (236).
 Задачи для самостоятельного решения (236).
 Приложение. Некоторые неравенства (237).
 Решения (238).
 Глава 10. Неравенства для элементов треугольника (261).
 §1. Медианы (261).
 §2. Высоты (261).
 §3. Биссектрисы (262).
 §4. Длины сторон (262).
 §5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей (262).
 §6. Симметричные неравенства для углов треугольника (262).
 §7. Неравенства для углов треугольника (263).
 §8. Неравенства для площади треугольника (264).
 §9. Против большей стороны лежит больший угол (264).
 §10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны (265).
 §11. Неравенства для прямоугольных треугольников (265).
 §12. Неравенства для остроугольных треугольников (266).
 §13. Неравенства в треугольниках (266).
 Задачи для самостоятельного решения (267).
 Решения (268).
 Глава 11. Задачи на максимум и минимум (282).
 §1. Треугольник (282).
 §2. Экстремальные точки треугольника (284).
 §3. Угол (284).
 §4. Четырехугольник (285).
 §5. Многоугольники (285).
 §6. Разные задачи (286).
 §7. Экстремальные свойства правильных многоугольников (287).
 Задачи для самостоятельного решения (287).
 Решения (288).
 Глава 12. Вычисления и метрические соотношения (301).
 §1. Теорема синусов (301).
 §2. Теорема косинусов (302).
 §3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (303).
 §4. Длины сторон, высоты, биссектрисы (303).
 §5. Синусы и косинусы углов треугольника (304).
 §6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника (304).
 §7. Вычисление углов (305).
 §8. Окружности (306).
 §9. Разные задачи (307).
 §10. Метод координат (308).
 Задачи для самостоятельного решения (308).
 Решения (309).
 ===============================================================================