 ===============================================================================
 «Публичная библиотека» (http://publ.lib.ru)
 ===============================================================================
 Библиотека математического кружка
 Выпуск 19
 В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин
 Задачи по стереометрии
 Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1989

 ББК 22.151.0
 П70
 УДК 514.113(023)

 Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1989. - (Библиотека математического кружка). - 288 с. - ISBN 5-02-013921-1.
 Содержит около 560 задач, снабженных подробными решениями, и 60 задач для самостоятельной работы. Большинство задач по своей тематике близки к школьной программе. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу.
 Для школьников, преподавателей, студентов педагогических институтов.

 Рецензенты: кандидат физико-математических наук Н.Б. Васильев; кандидат физико-математических наук Н.П. Долбилин

 ОГЛАВЛЕНИЕ:
 Предисловие (7).
 Знакомство со стереометрией (9).
 Решения (11).
 Глава 1. Прямые и плоскости в пространстве (18).
 §1. Углы и расстояния между скрещивающимися прямыми (18).
 §2. Углы между прямыми и плоскостями (18).
 §3. Прямые, образующие равные углы с прямыми и плоскостями (19).
 §4. Скрещивающиеся прямые (20).
 §5. Теорема Пифагора в пространстве (20).
 §6. Метод координат (21).
 Задачи для самостоятельного решения (21).
 Решения (22).
 Глава 2. Проекции, сечения, развертки (31).
 §1. Вспомогательные проекции (31).
 §2. Теорема о трех перпендикулярах (32).
 §3. Площадь проекции многоугольника (32).
 §4. Задачи о проекциях (33).
 §5. Сечения (33).
 §6. Развертки (34).
 Задачи для самостоятельного решения (34).
 Решения (35).
 Глава 3. Объем (45).
 §1. Формулы для объема тетраэдра и пирамиды (45).
 §2. Формулы для объема многогранников и круглых тел (45).
 §3. Свойства объема (46).
 §4. Вычисление объема (47).
 §5. Вспомогательный объем (49).
 Задачи для самостоятельного решения (50).
 Решения (51).
 Глава 4. Сферы (62).
 §1. Длина общей касательной (62).
 §2. Касательные к сферам (62).
 §3. Две пересекающиеся окружности лежат на одной сфере (63).
 §4. Разные задачи (64).
 §5. Площадь сферической полоски и объем шарового сегмента (64).
 §6. Радикальная плоскость (66).
 §7. Сферическая геометрия и телесные углы (67).
 Задачи для самостоятельного решения (68).
 Решения (69).
 Глава 5. Трехгранные и многогранные углы. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов (82).
 §1. Полярный трехгранный угол (82).
 §2. Неравенства с трехгранными углами (82).
 §3. Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов (82).
 §4. Разные задачи (83).
 §5. Многогранные углы (84).
 §6. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов (84).
 Задачи для самостоятельного решения (87).
 Решения (88).
 Глава 6. Тетраэдр, пирамида и призма (100).
 §1. Свойства тетраэдра (100).
 §2. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами (101).
 §3. Прямоугольный тетраэдр (102).
 §4. Равногранный тетраэдр (103).
 §5. Ортоцентрический тетраэдр (104).
 §6. Достраивание тетраэдра (106).
 §7. Пирамида и призма (107).
 Задачи для самостоятельного решения (109).
 Решения (110).
 Глава 7. Геометрические преобразования и векторы (131).
 §1. Скалярное произведение. Соотношения (131).
 §2. Скалярное произведение. Неравенства (132).
 §3. Линейные зависимости векторов (132).
 §4. Разные задачи (133).
 §5. Векторное произведение (133).
 §6. Симметрия (135).
 §7. Гомотетия (136).
 §8. Поворот. Композиции преобразований (137).
 §9. Отражение лучей света (139).
 Задачи для самостоятельного решения (139).
 Решения (140).
 Глава 8. Выпуклые многогранники и пространственные многоугольники (155).
 §1. Разные задачи (155).
 §2. Признаки невписанности и неописанности многогранников (150).
 §3. Формула Эйлера (156).
 §4. Обходы многогранников (157).
 §5. Пространственные многоугольники (158).
 Решения (159).
 Глава 9. Правильные многогранники (174).
 §1. Основные свойства правильных многогранников (174).
 §2. Взаимосвязи между правильными многогранниками (170).
 §3. Проекции и сечения правильных многогранников (177).
 §4. Самосовмещения правильных многогранников (177).
 §5. Различные определения правильных многогранников (173).
 Решения (179).
 Глава 10. Геометрические неравенства (190).
 §1. Длины, периметры (190).
 §2. Углы (191).
 §3. Площади (192).
 §4. Объемы (192).
 §5. Разные задачи (193).
 Задачи для самостоятельного решения (194).
 Решения (194).
 Глава 11. Задачи на максимум и минимум (207).
 §1. Отрезок с концами на скрещивающихся прямых (207).
 §2. Площадь и объем (207).
 §3. Расстояния (208).
 §4. Разные задачи (209).
 Задачи для самостоятельного решения (209).
 Решения (210).
 Глава 12. Построения и геометрические места точек (219).
 §1. Скрещивающиеся прямые (219).
 §2. Сфера и трехгранный угол (220).
 §3. Разные ГМТ (220).
 §4. Построения на изображениях (221).
 §5. Построения, связанные с пространственными фигурами (222).
 Решения (222).
 Глава 13. Некоторые методы решения задач (231).
 §1. Принцип крайнего (231).
 §2. Принцип Дирихле (231).
 §3. Выход в пространство (232).
 Решения (235).
 Глава 14. Центр масс. Момент инерции. Барицентрические координаты (244).
 §1. Центр масс и его основные свойства (244).
 §2. Момент инерции (245).
 §3. Барицентрические координаты (216).
 Решения (247).
 Глава 15. Разные задачи (254).
 §1. Примеры и контрпримеры (254).
 §2. Целочисленные решетки (255).
 §3. Разрезания. Разбиения. Раскраски (256).
 §4. Задачи-одиночки (257).
 Решения (257).
 Глава 16. Инверсия и стереографическая проекция (271).
 §1. Свойства инверсии (271).
 §2. Сделаем инверсию (272).
 §3. Наборы касающихся сфер (272).
 §4. Стереографическая проекция (273).
 Решения (274).
 Приложение. Задачи для самостоятельного решения (282).
 Список рекомендуемой литературы (286).

 Научно-популярное издание
 Прасолов Виктор Васильевич, Шарыгин Игорь Федорович
 ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
 Серия «Библиотека математического кружка»
 Выпуск 19
 Заведующий редакций Н.А. Угарова
 Редактор А.П. Веселов
 Художественный редактор Г.Н. Кольченко
 Технический редактор Л.В. Лихачева
 Корректор И.Я. Кригиталь
 Сдано в набор 07.06.88. Подписано к печати 06.02.89. Тираж 163000 экз. Цена 75 коп.
 Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. Москва.
 ===============================================================================
 *** О П И С А Н И Е * И З Д А Н И Я *** 5.4 ***
 ===============================================================================
 |ТИТУЛ ВЕБ-СТРАНИЦЫ¦ «Библиотека математического кружка» (серия)
 |СЕРИЯ, ГОД, НОМЕР ¦ Выпуск 19.
 |АВТОРЫ... НАЗВАНИЕ¦ Прасолов В.В..._ Задачи по стереометрии.
 |НАЗВАНИЕ ОРИГИНАЛА¦
 |ЖАНР-ФОРМА-ВИД-ТИП¦ Научно-популярное издание.
 Авторы: Виктор Васильевич Прасолов, Игорь Федорович Шарыгин.
 |ИЗДАТЕЛЬ. - СЕРИЯ ¦ Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1989. - Серия «Библиотека математического кружка». Выпуск 19
 |АВТОРЫ ФАЙЛА И OCR¦ Скан, обработка, формат Djv, Pdf: derevyaha, fire_varan, доработка: звездочет, 2025
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ПАПКИ¦ ''Biblioteka_matematicheskogo_krujka''_(seriya)
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ СЕРИИ¦ Vypusk_19.
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ФАЙЛА¦ ''Biblioteka_matematicheskogo_krujka''._Vyp.19.(1989)
 |ДОПОЛНЕНИЯ К ИМЕНИ¦ [djv] [pdf]
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ОБЛ. ¦ Bmk1989
 |АННОТАЦИЯ ИЗДАНИЯ ¦ ИЗ ИЗДАНИЯ:
 Содержит около 560 задач, снабженных подробными решениями, и 60 задач для самостоятельной работы. Большинство задач по своей тематике близки к школьной программе. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу.
 Для школьников, преподавателей, студентов педагогических институтов.
 |СОДЕРЖАНИЕ ИЗДАНИЯ¦ ОГЛАВЛЕНИЕ:
 Предисловие (7).
 Знакомство со стереометрией (9).
 Решения (11).
 Глава 1. Прямые и плоскости в пространстве (18).
 §1. Углы и расстояния между скрещивающимися прямыми (18).
 §2. Углы между прямыми и плоскостями (18).
 §3. Прямые, образующие равные углы с прямыми и плоскостями (19).
 §4. Скрещивающиеся прямые (20).
 §5. Теорема Пифагора в пространстве (20).
 §6. Метод координат (21).
 Задачи для самостоятельного решения (21).
 Решения (22).
 Глава 2. Проекции, сечения, развертки (31).
 §1. Вспомогательные проекции (31).
 §2. Теорема о трех перпендикулярах (32).
 §3. Площадь проекции многоугольника (32).
 §4. Задачи о проекциях (33).
 §5. Сечения (33).
 §6. Развертки (34).
 Задачи для самостоятельного решения (34).
 Решения (35).
 Глава 3. Объем (45).
 §1. Формулы для объема тетраэдра и пирамиды (45).
 §2. Формулы для объема многогранников и круглых тел (45).
 §3. Свойства объема (46).
 §4. Вычисление объема (47).
 §5. Вспомогательный объем (49).
 Задачи для самостоятельного решения (50).
 Решения (51).
 Глава 4. Сферы (62).
 §1. Длина общей касательной (62).
 §2. Касательные к сферам (62).
 §3. Две пересекающиеся окружности лежат на одной сфере (63).
 §4. Разные задачи (64).
 §5. Площадь сферической полоски и объем шарового сегмента (64).
 §6. Радикальная плоскость (66).
 §7. Сферическая геометрия и телесные углы (67).
 Задачи для самостоятельного решения (68).
 Решения (69).
 Глава 5. Трехгранные и многогранные углы. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов (82).
 §1. Полярный трехгранный угол (82).
 §2. Неравенства с трехгранными углами (82).
 §3. Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов (82).
 §4. Разные задачи (83).
 §5. Многогранные углы (84).
 §6. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов (84).
 Задачи для самостоятельного решения (87).
 Решения (88).
 Глава 6. Тетраэдр, пирамида и призма (100).
 §1. Свойства тетраэдра (100).
 §2. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами (101).
 §3. Прямоугольный тетраэдр (102).
 §4. Равногранный тетраэдр (103).
 §5. Ортоцентрический тетраэдр (104).
 §6. Достраивание тетраэдра (106).
 §7. Пирамида и призма (107).
 Задачи для самостоятельного решения (109).
 Решения (110).
 Глава 7. Геометрические преобразования и векторы (131).
 §1. Скалярное произведение. Соотношения (131).
 §2. Скалярное произведение. Неравенства (132).
 §3. Линейные зависимости векторов (132).
 §4. Разные задачи (133).
 §5. Векторное произведение (133).
 §6. Симметрия (135).
 §7. Гомотетия (136).
 §8. Поворот. Композиции преобразований (137).
 §9. Отражение лучей света (139).
 Задачи для самостоятельного решения (139).
 Решения (140).
 Глава 8. Выпуклые многогранники и пространственные многоугольники (155).
 §1. Разные задачи (155).
 §2. Признаки невписанности и неописанности многогранников (150).
 §3. Формула Эйлера (156).
 §4. Обходы многогранников (157).
 §5. Пространственные многоугольники (158).
 Решения (159).
 Глава 9. Правильные многогранники (174).
 §1. Основные свойства правильных многогранников (174).
 §2. Взаимосвязи между правильными многогранниками (170).
 §3. Проекции и сечения правильных многогранников (177).
 §4. Самосовмещения правильных многогранников (177).
 §5. Различные определения правильных многогранников (173).
 Решения (179).
 Глава 10. Геометрические неравенства (190).
 §1. Длины, периметры (190).
 §2. Углы (191).
 §3. Площади (192).
 §4. Объемы (192).
 §5. Разные задачи (193).
 Задачи для самостоятельного решения (194).
 Решения (194).
 Глава 11. Задачи на максимум и минимум (207).
 §1. Отрезок с концами на скрещивающихся прямых (207).
 §2. Площадь и объем (207).
 §3. Расстояния (208).
 §4. Разные задачи (209).
 Задачи для самостоятельного решения (209).
 Решения (210).
 Глава 12. Построения и геометрические места точек (219).
 §1. Скрещивающиеся прямые (219).
 §2. Сфера и трехгранный угол (220).
 §3. Разные ГМТ (220).
 §4. Построения на изображениях (221).
 §5. Построения, связанные с пространственными фигурами (222).
 Решения (222).
 Глава 13. Некоторые методы решения задач (231).
 §1. Принцип крайнего (231).
 §2. Принцип Дирихле (231).
 §3. Выход в пространство (232).
 Решения (235).
 Глава 14. Центр масс. Момент инерции. Барицентрические координаты (244).
 §1. Центр масс и его основные свойства (244).
 §2. Момент инерции (245).
 §3. Барицентрические координаты (216).
 Решения (247).
 Глава 15. Разные задачи (254).
 §1. Примеры и контрпримеры (254).
 §2. Целочисленные решетки (255).
 §3. Разрезания. Разбиения. Раскраски (256).
 §4. Задачи-одиночки (257).
 Решения (257).
 Глава 16. Инверсия и стереографическая проекция (271).
 §1. Свойства инверсии (271).
 §2. Сделаем инверсию (272).
 §3. Наборы касающихся сфер (272).
 §4. Стереографическая проекция (273).
 Решения (274).
 Приложение. Задачи для самостоятельного решения (282).
 Список рекомендуемой литературы (286).
 ===============================================================================