Юлий Анатольевич Шрейдер. Что такое расстояние?Физматгиз, 1963. 76 с. Тираж 67000 экз.
Серия "Популярные лекции по математике", выпуск 38
Эта книга является развитием лекции, прочитанной автором в Московском университете для школьников 9–10 классов.
В ней рассказывается, как из простого геометрического понятия с помощью математической абстракции возникло
общее определение расстояния. Приведены различные примеры пространств с расстоянием, так называемых метрических
пространств. При этом оказывается, что общее понятие расстояния связано с разнообразными математическими
фактами.
На основе понятия расстояния можно изучать задачи о кратчайших путях на поверхностях, геометрические свойства
многомерных пространств, методы помехоустойчивого кодирования сообщений, методы "сглаживания" результатов
измерений и др.
На примере "расстояния" видно, какую роль в математике играет создание общих понятий, находящих порой самые
неожиданные применения и связи. Кроме "расстояния", можно было бы еще указать на понятия "функции", "предела",
"пространства", "преобразования" и менее известные в широкой аудитории понятия "изоморфизма", "группы",
"кольца" и др. Среди этих понятий "расстояние" — одно из наиболее доступных для элементарного объяснения,
чем, пожалуй, в основном обусловлен выбор темы этой книги.
Автору хотелось доступными для массового читателя средствами показать, как одна плодотворная идея освещает
широкий круг вопросов и служит источником для получения неожиданных результатов или нового взгляда на
какую-либо область знания. Эта ситуация, характерная для любой науки, в математике очень часто проявляется
в наиболее чистом виде, не заслоненная обилием необходимых, но мешающих подробностей.
Материал, отобранный для книги, в основном диктуется этим общим замыслом.
Первые четыре параграфа как раз и должны раскрыть читателю, как происходит переход от обычного
геометрического определения к общему понятию "расстояния" и что это новое "понятие" означает в различных
конкретных случаях.
В пятом параграфе описывается так называемое пространство сообщений, играющее важную роль в теории информации
и общей теории связи.
Следующий параграф посвящен описанию методов кодирования сообщений, при которых сообщение оказывается
устойчивым к ошибкам, возникающим в процессах передачи. Так как во всех реальных средствах связи время
от времени возможны ошибки, то эти методы кодирования чрезвычайно существенны для современных систем связи
и управления. Так, при передаче с борта космической ракеты на Землю фотографии обратной стороны Луны
использовались помехоустойчивые методы кодирования этого сообщения. Необходимо отметить, что основная
идея этих методов состоит в надлежащем использовании свойств расстояния в пространстве сообщений.
Седьмой параграф несколько более сложен для понимания. В нем описывается важный класс пространств с
расстоянием.
В восьмом параграфе показано, как с помощью понятия расстояния можно получить методы сглаживания результатов
измерений, т. е. фактически снижения ошибки в измерении каких-то опытных данных за счет соответствующей
математической обработки. По существу в этом параграфе изложен так называемый метод наименьших квадратов.
Для понимания этого параграфа нужны некоторые сведения из дифференциального исчисления. Читатель, не
обладающий необходимыми познаниями, может этот параграф опустить.
В последнем параграфе рассматриваются возможные обобщения понятия расстояния. Здесь автору хотелось показать,
что далеко не всякое обобщение является содержательным, т. е. обладающим интересными свойствами.
Придумать хорошее обобщение какого-либо математического понятия на самом деле не просто. В основе
содержательного обобщения всегда лежат какие-то существенные свойства реального мира. В частности, важность
понятия расстояния состоит в том, что целый ряд свойств многих реальных объектов связан с их взаимным
расположением, которое часто можно охарактеризовать надлежащим образом определенным расстоянием. Так,
например, хотя электроны в оболочке атомов нельзя представлять себе в виде материальных точек, все же в
квантовой механике можно особым образом определить "расстояние" между различными состояниями электронов
в атоме. Это "расстояние" по идее близко к одному из определений расстояния из § 7 (так называемое
пространство l2).
Автор будет считать свою задачу выполненной удовлетворительно, если эта книга действительно раскроет перед
читателем идеи, о которых говорилось выше.
Автор пользуется случаем выразить признательность И. М. Яглому, давшему ряд цепных советов по улучшению
рукописи.
Файлы серии перемещены сюда