ИЗ ИЗДАНИЯ: В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников IX и X классов - участников Московской математической олимпиады, а затем - в несколько измененном виде - в Московском институте усовершенствования учителей.
Тема «Возвратные последовательности» близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т.п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория, законченная, простая, ясная, как и все то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию.
Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развернутую теорию дал крупнейший математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным последовательностям (рядам) тринадцатую главу своего «Введения в анализ бесконечно-малых» (1748). Из более поздних работ следует выделить изложение теории возвратных последовательностей в курсах исчисления конечных разностей, читанных знаменитыми русскими математиками академиками П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В этой книжке излагаются некоторые элементарные (т.е. не требующие знания дифференциального исчисления) способы решения задач на максимум и минимум.
Книжка рассчитана на учеников старших классов средней школы, желающих получить хотя бы общее представление о характере задач, рассматриваемых в высшей математике. Излагаемый материал может быть использован и в работе школьного математического кружка.
Однако я думаю, что и студенту втуза, педагогического института или университета, даже и «посвященному» в тайны математического анализа, будет полезно прочесть такую книжку. Дело в том, что мощный аппарат дифференциального исчисления дает общие и однотипные приемы, позволяющие решать задачи самого разнообразного характера, лишь бы в них требовалось найти экстремум конечной комбинации элементарных функций. Используя эти приемы, вовсе нет надобности обращать внимание на индивидуальное своеобразие той или иной задачи. А использование этого своеобразия часто как раз и позволяет решить задачу проще, быстрее и красивее, чем с помощью общих приемов. Положение дел здесь таково же, как и с арифметическими задачами: применение мощного аппарата алгебраических уравнений позволяет игнорировать индивидуальные особенности таких задач, но чисто арифметическое решение часто бывает проще, быстрее и красивее алгебраического.
Ассортимент алгебраических средств, применяемых в этой книжке, очень ограничен: использованы лишь простейшие свойства квадратного трехчлена и неравенство, относящееся к арифметическому и геометрическому средним. Это сделано в интересах наибольшей простоты изложения. Читателю, желающему ознакомиться с более сильными, но все еще элементарными приемами решения задач на максимум и минимум, можно рекомендовать книги: И.Б. Абельсон, Максимум и минимум, ОНТИ, 1935 и С.И. Зетель, Задачи на максимум и минимум, Гостехиздат, 1948.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В этой книжке излагаются некоторые элементарные (т.е. не требующие знания дифференциального исчисления) способы решения задач на максимум и минимум.
Книжка рассчитана на учеников старших классов средней школы, желающих получить хотя бы некоторое представление о характере задач, рассматриваемых в высшей математике. Излагаемый материал может быть использован и в работе школьного математического кружка...

ИЗ ИЗДАНИЯ: Часто при решении задач возникает вопрос о справедливости некоторого утверждения, которое верно в нескольких случаях, но все частные случаи рассмотреть невозможно. Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции. В брошюре приведено доказательство принципа мат. индукции, а также большое число задач с решениями на применение этого метода.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Эта книжка предназначается главным образом для школьников, а также для занимающихся самообразованием взрослых читателей, математическое образование которых ограничивается средней школой. В основу книжки положена лекция, прочитанная автором для московских школьников седьмых и восьмых классов.
При подготовке лекции к изданию автор немного расширил ее, стараясь, однако, не уменьшать доступности изложения. Самым существенным добавлением является п. 13 - об эллипсе, гиперболе и параболе как сечениях конической поверхности.
Чтобы не увеличивать объема книжки, большинство сведений о кривых излагается без доказательств, хотя во многих случаях доказательства можно было бы дать в доступной для читателя форме.
Настоящее, второе, издание книжки печатается без всяких изменений.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В курсе математики средней школы учащийся знакомится со свойствами неравенств и методами их решения в простейших случаях (неравенства первой и второй степени).
В этой книжке автор не ставил себе целью изложить основные свойства неравенств, а стремился лишь познакомить учащихся старших классов средней школы с некоторыми замечательными неравенствами, играющими большую роль в различных разделах высшей математики, и применением их к нахождению наибольшего и наименьшего значения величин и к вычислению некоторых пределов.
В книжке приводится 62 задачи, из которых 36 с подробными решениями составляют основное ее содержание, а 26 задач даются в конце §§1,4,5 мелким шрифтом в качестве упражнений. Решение упражнений читатель найдет в конце книжки.
Самостоятельное решение нескольких трудных задач, несомненно, принесет учащимся большую пользу, чем решение большого числа задач простых.
Поэтому мы предлагаем учащимся обращаться к решениям упражнений только после того, как будет найдено самостоятельное решение, быть может и отличающееся (что очень хорошо!) от решения, указанного автором.
При доказательстве неравенств и решении задач автор пользовался лишь свойствами неравенств и пределов, изучаемыми в 9 классе средней школы.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Первый вариант текста этой книжки писался почти тридцать лет тому назад. С тех пор изменилось очень многое.
Прежде всего, и это главное, изменился математический уровень основного круга читателей популярных
математических книг: интересующихся математикой школьников старших классов и их преподавателей. Созданная сеть специализированных математических и физико-математических школ и классов предопределила существенное расширение математического кругозора соответствующего контингента учащихся, которых теперь можно заинтересовать скорее не забавными элементарными фактами, а уже достаточно глубокими и сложными результатами.
Кроме того, и это является фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр тяжести математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел, и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика. Все это не могло не сказаться и на содержании научно-популярной литературы по математике.
Далее, числа Фибоначчи проявили себя еще в нескольких математических вопросах, среди которых в первую очередь следует назвать решение Ю.В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта и далеко не столь глубокую, но приобретшую широкую известность теорию поиска экстремума унимодальной функции, построенную впервые, по-видимому, Р. Беллманом.
Наконец, было установлено довольно большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизма». Наиболее убедительным свидетельством этому может служить журнал The Fibonacci Quarterly, издаваемый в США с 1963 г.
Все сказанное определило изменения содержания книги от издания к изданию и тот вид, в котором она предлагается читателю сейчас. Во втором издании был добавлен параграф о фибоначчиевых планах поиска экстремума унимодальной функции вместе с возникающими при этом общематематическими и вычислительными вопросами. В третьем издании была расширена теоретико-числовая тематика, и этот материал из §2 оказался полезной информацией при решении десятой проблемы Гильберта. Наконец, в настоящем издании «подтягиваются» до общего уровня и объема §3 и 4.
В §3 приводятся ставшие классическими теоремы о точности приближений подходящими дробями и описывается роль чисел Фибоначчи в этих фактах, а в §4 рассматривается игра «цзяньшицзы», теоретико-игровой анализ которой опирается на детальное рассмотрение фибоначчиевых представлений натуральных чисел.
Книга по-прежнему не требует от читателя знаний, выходящих за пределы школьного курса. Более трудные ее места выделены мелким шрифтом и могут быть при чтении пропущены без ущерба для понимания остального материала.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Эта книжка написана на основе лекции, прочитанной автором в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова для участников математической олимпиады - школьников девятого и десятого классов. В ней, рассчитывая на уровень знаний ученика девятого класса средней школы, мы даем обзор результатов и методов общей теории алгебраических уравнений. Доказательства при этом совсем не приводятся, так как иначе пришлось бы переписывать почти половину университетского учебника высшей алгебры. Даже при этом условии чтение книжки не превращается, понятно, в легкое развлечение: всякая математическая книга, даже популярная, требует от читателя сосредоточенного внимания, обдумывания всех определений и формулировок, проверки вычислений во всех примерах, применения излагаемых методов к другим примерам, придуманным самим читателем, и т.д.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В основу книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная автором в 1951 г. на математической олимпиаде в МГУ.
Книга доступна школьникам старших классов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Книга излагает геометрическую теорию логарифмов, в которой логарифмы (натуральные) появляются как некоторые площади, и все их свойства, а также способы их вычисления выводятся из свойств последних. Вместе с тем книжка знакомит с простейшими понятиями и свойствами интегрального исчисления, не используя понятия производной.
Предназначается она всем любителям математики, в особенности школьникам. Необходимые для понимания ее сведения они имеют уже в начале второй четверти восьмого класса.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку - аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом.
Координатами точки, называются числа, определяющие положение точки на данной линии или на данной поверхности или же в пространстве. Так, положение точки на земной поверхности будет определено, если известны ее географические координаты - широта и долгота.
Для нахождения координат точки необходимо задание ориентиров, от которых ведется отсчет. В случае географических координат такими ориентирами будут экватор и нулевой меридиан.
Если даны ориентиры и указано, как, пользуясь ими, находить координаты точки, то говорят, что задана система координат.
Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями (см. §4), что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры.
Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры - единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Можно сказать, что аналитическая геометрия занимает такое же положение по отношению к элементарной геометрии, какое алгебра занимает относительно арифметики. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Следует, однако, предостеречь читателя от пренебрежительного отношения к приемам элементарной геометрии, так как в отдельных случаях они позволяют находить изящные решения, более простые, чем получаемые методом координат.
Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.
При практическом применении понятия координат координаты предмета, рассматриваемого условно как точка, могут быть определены лишь приближенно. Задание координат предмета означает, что точка, определяемая этими
Размеры и назначение книжки обязывают нас ограничиться сообщением начальных сведений о методе координат и простейших его приложениях. Много внимания уделено нами вопросу определения геометрических фигур уравнениями, обычно затрудняющему учащегося при первом ознакомлении с методом координат. Разъяснение этого вопроса иллюстрировано детально рассмотренными примерами.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В основу этой книжки легли лекции-беседы, которые я несколько раз проводил со школьниками либо VII-VIII, либо IX-X классов в школьном математическом лектории при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова. Для той и для другой аудитории обычно устраивались две встречи, разделенные промежутком около месяца. Первые встречи соответствовали по содержанию главам I и III этой книжки, имели характер лекций и содержали кроме введения, изложение примеров ошибочных доказательств без комментариев; в конце лекции слушателям предлагалось выяснить сущность сделанных ошибок и быть готовыми при следующей встрече выступить со своими возражениями. Вторые встречи были уже в большей степени беседами: лектор напоминал вкратце содержание каждого примера и непосредственно вслед за тем приглашал желающих выступить. Таких всегда было несколько, к доске выходил один, наудачу выбранный; остальным предоставлялось делать реплики с мест, иногда также выходить к доске. Разбор каждого примера заканчивался краткими высказываниями лектора, содержащими дополнения, варианты и подведение итога.
Трудно думать, что все школьники, активно участвовавшие в этой работе, готовились к ней без посторонней помощи. Но даже вразумительно изложить заимствованное опровержение софизма составляло далеко не всегда простую задачу. К чести московских школьников, посещавших лекторий, надо признать, что они показали себя здесь с лучшей стороны; некоторые выступления были просто превосходны.
Ободренный этим опытом, я обращаюсь теперь к более широкой аудитории в надежде, что эта книжка пробудит у читателя не, только любознательность, но и математическую активность. Последняя может проявиться в том, что читатель пройдет путь, рекомендованный слушателям моих лекций-бесед: сначала будет знакомиться с примерами ошибочных рассуждений, изложенными в главах I (для школьников, начиная с VII класса средней школы) и III (для IX-X классов); затем в каждом случае попытается вскрыть ошибку собственными силами; наконец, прочитает главы II и IV, где найдет разъяснения соответственно к главам I и III, а также некоторые дополнения.
Мелкий шрифт и значительную часть подстрочных примечаний можно пропустить: они рассчитаны на читателей, наиболее подготовленных, а также на руководителей математических кружков.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Изучение интегрального исчисления довольно трудно, так как в своем современном виде это исчисление является результатом взаимного переплетения большого числа весьма разнородных идей.
Однако самое основное понятие интегрального исчисления (по существу восходящее еще к античной древности) - понятие предела суммы безгранично возрастающего числа безгранично убывающих слагаемых - очень просто и естественно.
Овладение этим понятием не требует большой подготовки и в то же время очень полезно, так как дает возможность решить ряд важных задач геометрии и физики, позволяет глубже усвоить идею предела и служит прекрасным введением в систематическое изучение высшей математики.
В настоящей книжке рассказывается, в чем состоит упомянутое понятие и как оно применяется для решения
разнообразных конкретных задач. Содержащийся здесь материал представляет собой дополненную и расширенную обработку лекций, которые я неоднократно читал ленинградским школьникам девятых и десятых классов. Этот материал может быть использован и в работе школьного математического кружка.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Эта книжка знакомит читателя с комплексными числами и простейшими функциями от них (включая функцию Н.Е. Жуковского с применением к построению профиля крыла самолета). Изложению придана геометрическая форма. Комплексные числа рассматриваются как направленные отрезки, а функции - как отображения. Чтобы привести читателя к такому пониманию комплексных чисел, мы начинаем с геометрического истолкования действительных чисел и действий над ними. В основу книжки положена лекция, читанная автором для школьников 9-го и 10-го классов. Предварительного знакомства с комплексными числами от читателя не требуется.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Брошюра поможет разобраться учащимся в следующих вопросах: что такое доказательство и зачем нужно доказательство, каким оно должно быть и что в геометрии можно принимать без доказательства.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В курсе алгебры средней школы выводится формула для решения квадратного уравнения, а из курса физики видно, насколько необходима эта формула для решения многих физических вопросов (например, в задачах, связанных с равноускоренным движением, и т.д.).
Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике и ее приложениях уравнения третьей и более высоких степеней. Люди почти так же давно начали заниматься уравнениями высших степеней, как и квадратными уравнениями. Известны вавилонские клинописные таблички, в которых решаются некоторые кубические уравнения. Несмотря на то, что этим вопросом занимались так давно, основные факты об уравнениях высших степеней были открыты только в XIX веке. Эта лекция посвящена обзору некоторых основных свойств уравнений высших степеней.
Способ, которым мы будем выводить свойства уравнений высших степеней, резко отличается от того способа, при помощи которого в курсе алгебры средней школы выводят свойства квадратных уравнений. Почти все свойства квадратных уравнений выводятся из формулы для их решения, мы же не будем выводить формулу для решения уравнений высших степеней, а получим их свойства из некоторых общих алгебраических и геометрических соображений.
Дело в том, что для большинства уравнений высших степеней не существует такой формулы, как для уравнений второй степени. В тех же случаях, где такая формула есть, она настолько сложна, что из нее невозможно вывести никаких свойств уравнения. Но и независимо от этого, наш путь имеет еще одно преимущество: он делает более ясной истинную причину тех фактов, которые доказываются.
Все рассуждения, которые здесь будут приведены, годятся для уравнений любой степени. Часто они будут изложены в общем виде. В некоторых же случаях, когда рассуждение в общем случае принципиально то же, но удлиняет выкладку, мы будем приводить его лишь для уравнений третьей степени и только формулировать то, что получится в общем случае. Очень рекомендуется провести все рассуждения самостоятельно в общем случае.
Наконец, совсем выпущены доказательства фактов, подобных следующему: если график многочлена имеет точки по разные стороны оси x, то он эту ось пересекает. Вероятно, некоторые читатели не почувствуют потребности в доказательстве подобных предложений. Тот же, кто пожелает провести эти доказательства, легко сделает это при помощи простейших свойств непрерывных функций, которые можно узнать из первых глав любого курса анализа.
В этой книжке мы будем заниматься только свойствами действительных корней уравнений, так что от читателя не потребуется знания свойств комплексных чисел. Заметим, что свойства комплексных корней уравнений могут быть выведены с помощью таких же методов, но несколько усложненных.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Настоящая брошюра содержит элементарное изложение теории так называемых «гиперболических функций», во многом
аналогичных обыкновенным тригонометрическим функциям. Гиперболические функции часто встречаются в разнообразных физических и технических исследованиях; весьма важную роль играют они также в неевклидовой геометрии Лобачевского, участвуя во всех тригонометрических зависимостях этой геометрии (см., например, книгу А.П. Нордена «Элементарное введение в геометрию Лобачевского», М., Гостехиздат, 1953; по содержанию глава IX этой книги близка к настоящей брошюре). Но и независимо от этих приложений теория гиперболических функций может представлять значительный интерес для школьника и учителя средней школы, так как аналогия между гиперболическими и тригонометрическими функциями по-новому освещает многие вопросы тригонометрии.
Брошюра состоит из трех глав. Первая глава посвящена гиперболическому повороту и его применению к изучению свойств гиперболы; она может представлять и известный самостоятельный интерес. Основное место занимает глава II, в которой излагаются элементы теории гиперболических функций. Глава III тесно связана с брошюрой А.И. Маркушевича «Площади и логарифмы», составляющей выпуск 9 «Популярных лекций по математике»; она устанавливает связь теории гиперболических функций с теорией логарифмов.
Иное построение теории гиперболических функций, не использующее гиперболического поворота, содержится в статье Д.И. Перепелкина «Геометрическая теория гиперболических функций», напечатанной в выпуске 2 сборника «Математическое просвещение», ОНТИ, М.-Л., 1934; к сожалению, в настоящее время этот сборник представляет собой библиографическую редкость. Читателю брошюры можно порекомендовать также книгу Б.Н. Делоне и Д.А. Райкова «Аналитическая геометрия»,: ч.1, Гостехиздат, М.-Л., 1948, где содержится обширный материал, примыкающий к изложенному в первой главе.
Брошюра рассчитана на участников и руководителей школьных математических кружков; она может быть также использована и в работе вузовских кружков по математике. Мелким шрифтом в главе III напечатан более трудный материал, не рассчитанный на школьника. Впрочем, нигде у читателя не предполагается никаких знаний, выходящих за пределы курса средней школы.

ИЗ ИЗДАНИЯ: У школьников старших классов, особенно у интересующихся математикой, физикой, техникой, часто возникает вопрос: что такое «высшая» математика? Иногда подобные вопросы обсуждаются на занятиях школьных математических кружков.
В этой книге автор попытался (в форме, доступной учащимся старших классов) объяснить некоторые понятия высшей математики, такие, как производная, дифференциальное уравнение, число е, натуральный логарифм (чаще всего школьники узнают о существовании двух последних понятий и интересуются ими). Пояснение этих понятий я пытался сделать возможно более наглядным, опираясь на решение задач, взятых из физики. При этом, помимо наглядности, я руководствовался стремлением показать, что понятия «высшей» математики являются математическим отражением свойств реальных процессов, совершающихся в природе, лишний раз показать, что математика связана с жизнью, а не оторвана от нее, что она развивается, а не является неизменной, завершенной наукой.
Не все доказательства и рассуждения, имеющиеся в книге, проведены с полной математической строгостью. Некоторые рассуждения носят характер наглядных пояснений. Такой метод изложения казался мне наиболее подходящим для популярной книги.
Книга может быть использована в работе школьных математических и физических кружков; для ее понимания требуются знания в объеме примерно девяти классов средней школы. Частично материал книги содержался в лекции для школьников, прочитанной автором по просьбе руководителей школьных математических кружков при МГУ.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В основу этой книжки было положено содержание моей лекции, прочитанной в марте 1953 г. участникам 12-й Одесской математической олимпиады для учащихся старших классов средней школы. Олимпиада была
организована и проводилась при физико-математическом факультете Одесского государственного университета им. И.И. Мечникова. Упомянутая лекция содержала лишь §§2,5 и 8 в том виде, как они изложены в настоящей книжке, остальные параграфы, представляющие не меньший интерес, естественно, не могли войти в одну двухчасовую лекцию.
Содержание книжки вполне доступно для учеников девятого и десятого классов, так как по применяемым методам решения задач она не выходит за рамки курса математики средней школы, хотя по существу это - задачи высшей математики.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В настоящей книжке исследуется с элементарной точки зрения ряд так называемых вариационных задач. В этих задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и ищется кривая, для которой эта величина достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Таковы, например, задачи: среди всех кривых, соединяющих две точки на некоторой поверхности, найти кратчайшую; на плоскости среди всех замкнутых кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь, и т.д.
Материал этой книги в основном излагался автором на лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содержание первой лекции (§§1-10) в основном совпадает с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора «Геодезические линии».
У читателя предполагается только знакомство с курсом элементарной математики. При этом первые главы носят совершенно элементарный характер, другие же, не требуя специальных знаний, требуют несколько большего навыка к математическому чтению и размышлению.
Весь материал книжки можно рассматривать как элементарное введение в вариационное исчисление (так называется тот раздел математики, в котором систематически изучаются задачи на отыскание минимума или максимума функционалов). Вариационное исчисление не входит в первый концентр курса «высшей математики», изучающегося, например, в технических вузах. Однако мы считаем, что для человека, приступающего к изучению курса «высшей математики», не бесполезно заглянуть подальше вперед.
Для читателя, знакомого с элементами математического анализа, не представит труда сделать некоторые определения и рассуждения, излагаемые в книжке не строго, совершенно строгими (поясняющие соображения для этого он часто найдет в тексте, данном мелким шрифтом); нужно, например, говорить не о малых величинах и их приближенном равенстве, а о бесконечно малых величинах и их эквивалентности. Если более взыскательный читатель останется все же неудовлетворенным допущенным здесь уровнем строгости и логической законченности рассмотрений, то пусть это послужит для него объяснением необходимости той логической шлифовки основных понятий математического анализа, с которой он столкнется, например, в университетских курсах анализа. Без этой шлифовки невозможно строгое и систематическое изложение таких глав анализа, как вариационное исчисление.
Математический анализ выработал мощный аналитический аппарат, решающий иногда автоматически многие трудные задачи. Однако на всех этапах овладения математикой исключительно важно видеть простой геометрический или физический смысл решаемой задачи. Нужно уметь решать задачи «на пальцах», как говорят математики, т.е. находить пусть нестрогое, но простое и наглядное доказательство.
Если эта небольшая книжка хоть в некоторой мере будет способствовать развитию у читателей этих элементов математической культуры, то автор будет считать, что труд, затраченный им на ее написание, оказался не бесполезным.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Эта книжка познакомит читателя с понятием площади ориентированной фигуры и его применениями к теории планиметра и к выводу целесообразной формулы для вычисления площади участка, заданного на местности и ограниченного произвольной замкнутой ломаной линией. Понятие ориентированной площади может быть использовано, как в этом убедится читатель, и для решения задач школьной геометрии.
В основу книжки положен материал лекций, читанных мной школьникам старших классов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Настоящая книжка, рассчитанная в первую очередь на учащихся старших (9-го и 10-го) классов средней школы, учителей математики и студентов физико-математических факультетов пединститутов, примыкает к книжке И.С. Соминского «Метод математической индукции», составляющей 3-й выпуск серии «Популярные лекции по математике», и может рассматриваться как ее продолжение; тем читателям, которые знакомы с книжкой И.С. Соминского, она будет особенно интересна.
Книжка содержит 37 примеров, решения которых подробно разобраны, и 40 задач, сопровождаемых краткими указаниями. Она посвящена разнообразным применениям метода математической индукции к решению геометрических задач. Наиболее поучительны здесь, по нашему мнению, различные аспекты метода математической индукции; отдельные (но, разумеется, не все) примеры и задачи могут также представлять и определенный самостоятельный интерес.
В основу книжки положены две лекции, прочитанные И.М. Ягломом московским школьникам - участникам школьного математического кружка при Московском государственном университете.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Первый параграф предлагаемой вниманию читателя книжки посвящен доказательству следующей теоремы, найденной математиками Бояй и Гервином: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник. Более краткая формулировка: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Изучению некоторых вопросов, связанных с равносоставленностью фигур, посвящена вся книжка в целом. Она разделена на две главы, в первой из которых изучаются многоугольники, а во второй - многогранники. Сформулированная выше теорема является одной из основных в первой главе.
Во второй главе наиболее интересна теорема Дена: существуют многогранники, которые имеют одинаковый объем (равновелики), но не являются равносоставленными.
Доказательству упомянутых двух теорем, ставших уже классическими, посвящена книга Вениамина Федоровича Кагана (1869-1953) «О преобразовании многогранников». Эта небольшая ярко написанная книжечка пользуется заслуженной известностью. Вместе с тем, доказательство теоремы Дена в книге В.Ф. Кагана несколько неэлементарно: оно использует понятие о непрерывности, свойства систем линейных уравнений и т.п.
В последнее время швейцарскими геометрами были получены новые результаты, углубляющие теоремы Бояй-Гервина и Дена. Существование этих новых результатов, а также тот факт, что книга В.Ф. Кагана стала уже редкостью, побудили автора написать новую книгу по этому вопросу.
Теоремы Бояй-Гервина и Дена доказаны соответственно в §1 и §5. Приведенные здесь доказательства значительно отличаются от имеющихся в книге В.Ф. Кагана. В частности, доказательство теоремы Дена отличается большей элементарностью и простотой.
В §§2-4,6 приведены результаты самых последних лет (они принадлежат Хадвигеру, Глюру, Сидлеру; исключение составляет теорема, приведенная в §4, которая, повидимому, является новой).
Наиболее простыми в книжке являются три-четыре первых параграфа. Для их понимания требуются знания в объеме примерно восьми классов средней школы. Вместе с тем, эти параграфы охватывают единый круг вопросов, связанных с измерением площадей многоугольников. Изложение материала в первых трех параграфах построено на основе лекции, прочитанной автором для школьников в МГУ, Следующая по трудности часть книжки - пятый параграф и начало шестого параграфа. Они требуют знания почти всего школьного курса геометрии и умения хорошо логически мыслить. Наконец, остальная, наиболее трудная часть книжки (мелкий шрифт) рассчитана в основном на студентов пединститутов и университетов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Цель книги состоит в том, чтобы ознакомить читателя с основными положениями неевклидовой геометрии Лобачевского. Автор дает в книге краткий очерк жизни и деятельности Н.И. Лобачевского и останавливается на вопросе о происхождении аксиом и их роли в геометрии.
Для понимания книги необходимо знание элементарной геометрии (в ее планиметрической части) и тригонометрии в объеме курса средней школы. Кроме того, автор пользуется инверсией - специальным геометрическим преобразованием, основные свойства которого выясняются в одном из первых параграфов книги.
Автор является крупным специалистом по геометрии Лобачевского, и его книга представляет интерес не только для школьников - любителей математики, но и для студентов младших курсов педагогических институтов и университетов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В настоящей лекции изложены важнейшие конфигурационные теоремы на плоскости и их применение к решению некоторых практических задач. У читателя предполагаются лишь самые элементарные знания по планиметрии и стереометрии. Необходимые сведения о центральной проекции и несобственных элементах пространства приводятся в самой лекции. Лекция будет полезной не только для школьного математического кружка, но и для топографа и геодезиста.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В книжке рассматриваются задачи на построение, решаемые при помощи одной только линейки или с использованием также какой-либо вспомогательной фигуры. В связи с этим рассматриваются некоторые основные понятия проективной геометрии.
Книжка рассчитана на школьников старших классов, студентов младших курсов пединститутов и университетов и преподавателей математики.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Книга Б.А. Трахтенброта рассматривает в популярной форме основные вопросы теории алгоритмов и связь этой теории с современной машинной математикой. Автор подробно рассказывает об истории развития понятия алгоритм, о принципе работы современных быстродействующих вычислительных машин, об основах программирования, о схеме машины Тьюринга, об алгоритмически неразрешимых проблемах.
Книга рассчитана на школьников старших классов, преподавателей, инженерно-технических работников и всех лиц, интересующихся перспективами применения новой вычислительной техники.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Настоящая лекция рассчитана на учащихся средних школ (7-10 классы). В ней рассмотрены простые решения различных математических задач (иногда довольно сложных) при помощи использования некоторых положений механики.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Брошюра в доступной форме знакомит читателя с новой быстродействующей вычислительной техникой и с перспективами ее использования для решения труднейших научных задач, для автоматизации управления производственными и другими процессами, для облегчения и ускорения самых различных видов умственного труда. Описываются основы устройства электронных цифровых машин и дается понятие о подготовке программ для машинного решения различных задач. Книга иллюстрирована большим количеством рисунков и фотографий. Рассчитана на школьников старших классов и на широкие круги интеллигенции.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Брошюра посвящена описанию и исследованию геометрических построений с помощью одного лишь циркуля; написана она на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал для школьников, принимавших участие в математических олимпиадах в г. Львове. Книжка представляет интерес для преподавателей математики и учащихся старших классов средней школы.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Посвящена описанию и исследованию геометрических построений на плоскости с помощью одного циркуля и в пространстве с помощью воображаемого инструмента - сферографа. Написана на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал для школьников, принимавших участие в математических олимпиадах г. Львова.
2-е издание. вышло в 1984 г.
Представляет интерес для преподавателей математики и учащихся старших классов средней школы.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Эта небольшая книжка написана на основе лекции, прочитанной автором в школьном математическом кружке при МГУ.
В ней излагаются простейшие приемы построения графиков функций на примерах прямой и обратной пропорциональной зависимостей и многочленов второй степени.
Показано, как, пользуясь этими графиками, строить графики более сложных функций.
Брошюра рассчитана на учащихся старших классов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В предлагаемой книге рассматриваются оптические свойства конических сечений (эллипса, гиперболы, параболы).
Книга рассчитана на учащихся старших классов и может быть использована для работы в школьных математических кружках.
В основу книги положены лекции, прочитанные автором в школьном математическом кружке при Сталинградском педагогическом институте.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Книга представляет собой популярное изложение элементов теории игр и некоторых способов решения матричных игр. Она почти не содержит доказательств и иллюстрирует основные положения теории примерами. Для чтения достаточно знакомства с элементами теории вероятностей и математического анализа.
Книга предназначена для популяризации идей теории игр, имеющей широкое практическое применение в экономике и военном деле.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Книга знакомит читателя с важным разделом математики - линейным программированием, получившим в последние годы широкое применение в различных областях экономики, техники, военного дела.
В книге дается постановка общей задачи линейного программирования, методы ее решения и приложения к конкретным экономическим задачам. Рассматривается применение теории линейного программирования к решению транспортных задач при минимуме стоимости и минимуме времени перевозок, а также намечены пути решения задачи с учетом обоих факторов.
Книга рассчитана на математиков, инженеров и экономистов, занимающихся вопросами математического планирования, в частности применением автоматических цифровых вычислительных машин к этим вопросам.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В книжке кратко и в популярной форме излагаются те вопросы, связанные с системами уравнений первой степени, которые недостаточно освещаются в школьном курсе алгебры.
Отдельные параграфы книги были предметом тематических занятий математического кружка для школьников при Смоленском педагогическом институте имени К. Маркса.
Книга рассчитана на учащихся старших классов средней школы; отдельные части ее могут быть использованы также учащимися техникумов, студентами младших курсов и учителями средних школ.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В этой книге в популярной форме рассказывается о методах приближенного решения алгебраических, тригонометрических, показательных и других уравнений. Книга рассчитана на учеников старших классов, учащихся техникумов, учителей математики и лиц, сталкивающихся в практической деятельности с решением уравнений. По ходу изложения в книге вводятся некоторые элементарные понятия высшей математики. К книге приложено 27 упражнений и их решения.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В книге на простых примерах, взятых из области механики и геометрии и доступных учащимся средней школы, разъясняется понятие огибающей, играющее важную роль в высшей математике. Эти примеры не требуют рассмотрения никаких других функций, кроме многочленов, благодаря чему разыскание огибающих производится весьма простыми приемами. Книга может быть использована в работе математических кружков.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В основе музыки лежит музыкальный тон, или звук, определенной высоты, представляющий собой колебательный процесс в воздухе с некоторой частотой. Хотя наше ухо воспринимает тоны с достаточно широким диапазоном частот, в музыке мы пользуемся сравнительно небольшим числом тонов.
Вопрос о том, какие именно тоны должна содержать музыкальная шкала, решается математическими методами. Этому и посвящена настоящая брошюра, в основу которой легла лекция, прочитанная автором в школьном математическом кружке при МГУ.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Эта книга является развитием лекции, прочитанной автором в Московском университете для школьников 9-10 классов. В ней рассказывается, как из простого геометрического понятия с помощью математической абстракции возникло общее определение расстояния. Приведены различные примеры пространств с расстоянием, так называемых метрических пространств. При этом оказывается, что общее понятие расстояния связано с разнообразными математическими фактами...

ИЗ ИЗДАНИЯ: В брошюре систематически и с общей точки зрения описываются признаки делимости. Это дает автору повод популярно изложить некоторые вопросы элементарной теории чисел, теории отношений и теории алгорифмов.
3-е издание. - 1980 г.
Предназначается для учащихся старших классов средней школы.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В брошюре рассказывается об истории возникновения, свойствах и применении различных систем счисления: десятичной, двоичной и некоторых других. В связи с двоичной системой счисления даются элементарные сведения о вычислительных машинах.
Для учащихся старших классов средней школы.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В брошюре рассказывается об истории возникновения, свойствах и применении различных систем счисления: десятичной, двоичной и некоторых других. В связи с двоичной системой счисления даются элементарные сведения о вычислительных машинах.

ИЗ ИЗДАНИЯ: ...

ИЗ ИЗДАНИЯ: Решая геометрическую задачу, полезно представить себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться. Зависимость одних элементов от других может стать при этом наглядно очевидной, и решение задачи бросится в глаза.
Связи между величинами отрезков, углов и т.п. в геометрических фигурах обычно являются более сложными, чем связи между скоростями изменения этих величин в процессах деформации фигур. Поэтому для решения геометрических задач может быть полезной «теория скоростей» - кинематика.
В этой брошюре на нескольких примерах демонстрируется применение кинематики к задачам элементарной геометрии и приводится некоторое количество задач для самостоятельного упражнения. Необходимые общие сведения из кинематики (и векторной алгебры) излагаются предварительно.
Брошюра написана на основе лекций, прочитанных в школьном математическом кружке при Харьковском государственном университете им. А.М. Горького. Она рассчитана на учащихся 9-10 классов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Настоящая лекция доступна учащимся восьмилетней школы. В ней рассматривается одна важная числовая таблица (которая и называется треугольником Паскаля), полезная при решении ряда задач. Попутно с решением таких задач затрагивается вопрос, что означают слова «решить задачу».

ИЗ ИЗДАНИЯ: В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идет об интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа.
Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии и ряду ее приложений. Для удобства изложения материал разбит на три главы.
В первой главе подробно изучается преобразование инверсии и даются ее приложения к вопросам элементарной геометрии. Во второй главе показано, что преобразования, рассмотренные в главе I, могут быть заданы линейными и дробно-линейными функциями комплексного аргумента. Устанавливается также, что и обратно, такие функции описывают преобразования плоскости, сводящиеся к последовательному выполнению движений, гомотетии и, может быть, инверсий. В третьей главе излагается теоретико-групповая точка зрения обоснования геометрии, с помощью которой, опираясь на материал глав I и II, строятся кратко планиметрия Евклида и планиметрия Лобачевского.
Более подробное изложение вопросов, затронутых в главе III, читатель может найти в книге Н.В. Ефимова «Высшая геометрия».
В основу настоящей книги легли лекции, прочитанные автором в разное время школьникам г. Ленинграда.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Брошюра излагает основные понятия, относящиеся к учению о так называемых «алгебрах Буля», играющих большую роль в математической логике и весьма важных для всех направлений современной математики, связанных с электронными вычислительными машинами и кибернетикой. В брошюре дается определение алгебры Буля и приводятся многочисленные примеры таких алгебр; в частности, специально рассматривается алгебра высказываний и указываются пути использования этой своеобразной алгебры для автоматизации математических доказательств Брошюра содержит достаточное число упражнений (сопровождаемых ответами, помещенными в конце брошюры), доставляющих читателю возможность контроля над усвоением материала и самопроверки.
Брошюра может быть использована и работе школьного математического кружка; она будет с интересом прочитана не только школьниками средних (7-го, 8-го) классов, но и школьниками-старшеклассниками.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В книжке изложены основные приемы метода Монте-Карло (метода статистических испытаний). Приведены примеры весьма разнообразных задач, решаемых этим методом. Предназначена для инженеров, конструкторов, исследователей и научных работников, работающих в различных отраслях народного хозяйства (в науке, технике, промышленности, медицине, экономике, сельском хозяйстве, торговле и др.), и ставит своей целью подсказать, что в любой области деятельности встречаются задачи, которые можно рассчитывать методом Монте-Карло. К читателю предъявляются минимальные требования: умение дифференцировать и интегрировать (1-й курс втуза). Книжка может быть полезна также всем, кто желает впервые познакомиться с методом Монте-Карло.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Брошюра посвящена следующим вопросам: всегда ли можно произвольное целое число представить в виде произведения простых чисел и если да, то сколько существует методов разложения? Ответ на эти вопросы и дает основная теорема арифметики, доказательство которой приводится в книге. Кроме того, рассматривается вопрос о существовании других «арифметик», где данная теорема неверна. Читателю не потребуется знаний, отличных от тех, которые излагаются в школьном курсе математики (за исключением, возможно, метода мат. индукции).

ИЗ ИЗДАНИЯ: В книге рассказывается о связи между системами линейных неравенств и выпуклыми многогранниками, дается описание множества всех решений системы линейных неравенств, изучаются вопросы совместности и несовместности; наконец, дается понятие о линейном программировании как об одной из глав теории систем линейных неравенств. В последнем параграфе дается доказательство теоремы двойственности линейного программирования.
Книга рассчитана на школьников старших классов и всех любителей математики.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В книжке рассказывается о графиках функций и о дифференциальном и интегральном исчислении на материале простейшего класса функций - рациональных функций одного переменного. Книжка рассчитана на школьников старших классов и студентов первого курса высших учебных заведений любого профиля.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В книге популярно излагаются некоторые теоремы, относящиеся к недавно сформировавшемуся разделу математики - комбинаторной геометрии.
Предназначена для учащихся 8-10 классов, интересующихся математикой, студентов и преподавателей математики.

ИЗ ИЗДАНИЯ: При изучении стереометрии приходится изображать на плоскости пространственные фигуры. Большинство школьников выполняют эти чертежи как попало, без всяких правил. В этой брошюре, рассчитанной на школьников старших классов, излагается теория изображения пространственных фигур на плоскости и приводятся примеры, соответствующие тематике школьного курса стереометрии.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В этой брошюре излагаются разные теории, к которым приводит углубленное изучение задачи о делении отрезка в данном отношении. Разбирая эту элементарную задачу и смежные вопросы, читатель совершит небольшое путешествие по математике, соприкоснется с аффинной и проективной геометрией и теорией групп, в большинстве случаев без упоминаний этих названии.
Книга рассчитана на учащихся старших классов; изложение в основных частях доступно для школьников 7-8 классов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В брошюре рассказывается об одном часто применяемом виде проектирования сферы на плоскость, обладающем следующими замечательными свойствами: при этом проектировании углы между линиями на сфере изображаются равными им углами между линиями на плоскости, а круги на сфере изображаются кругами и прямыми на плоскости. В ней рассказывается также о применениях этого проектирования в астрономии и географии. В последнем разделе брошюры рассказывается об аналогичном проектировании плоскости Лобачевского на обычную плоскость.
Брошюра рассчитана на школьников старших классов и студентов младших курсов вузов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Машина Поста - это хотя и абстрактная (т.е. не существующая в арсенале действующей техники), но зато очень простая вычислительная машина. Она способна выполнять лишь самые элементарные действия, и потому ее описание и составление простейших программ может быть доступно ученикам начальной школы. Тем не менее на машине Поста можно запрограммировать - в известном смысле - любые алгоритмы. Изучение машины Поста можно рассматривать как начальный этап обучения теории алгоритмов и программированию.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Брошюра содержит популярное изложение важного для современной математики понятия частично упорядоченного множества. Рассмотрены понятия точной верхней и точной нижней граней, введены структуры (решетки), рассмотрены алгебраические свойства операций взятия точных граней, введены дистрибутивные структуры.
Для учащихся старших классов средней школы и студентов младших курсов вузов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Книга посвящена популярному изложению начальных сведений о программировании и программном обеспечении. Рассматриваются такие основные понятия, как алгоритм, алгоритмический язык, вычислительная машина, трансляция и операционная система.
Для чтения книги достаточно знаний в объеме программы средней школы.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Есть в математике темы, пользующиеся достаточной известностью и в то же время признаваемые традицией слишком сложными (или маловажными) для включения в обязательное обучение: обычай относит их к занятиям факультативным, дополнительным, специальным и т.п. В перечне таких тем есть несколько, остающихся сейчас там исключительно в силу инерции. Одной из них является теорема Геделя.
Несмотря на то, что очень многие математики (и нематематики) слышали о ней, мало кто из них может объяснить, в чем состоит утверждение теоремы Геделя и тем более как она доказывается. Вместе с тем результат столь важен, а причины, вызывающие неустранимую неполноту (т.е. невозможность добиться того, чтобы каждое истинное утверждение было доказуемо), столь просты, что теорема Геделя могла бы излагаться на самых младших курсах. Более того, для понимания доказательства необходимо лишь знакомство с простейшей терминологией теории множеств (словами «множество», «функция», «область определения» и тому подобными) и некоторая привычка к восприятию математических рассуждений, так что оно вполне доступно подготовленному школьнику.
Излагаемый в этой брошюре способ доказательства теоремы Геделя отличен от способа, предложенного самим Геделем, и опирается на элементарные понятия теории алгоритмов. Все необходимые сведения из этой теории сообщаются по ходу дела, так что читатель одновременно знакомится с основными фактами теории алгоритмов. Брошюра написана на основе статьи автора в журнале «Успехи математических наук», 1974, том 29, выпуск 1 (175). Естественно, что изменение круга предполагаемых читателей сделало необходимой ее переработку. В частности, некоторые более специальные вопросы, а также библиографические ссылки на оригинальные публикации исключены, и любознательный читатель может найти их в упомянутой статье автора. Одновременно расширен раздел, посвященный связи между семантической и синтаксической формулировками теоремы о неполноте, а также добавлены приложения, посвященные теореме Тарского о невыразимости понятия истины и обоснованию аксиомы арифметичности.
План брошюры таков. В §1 формулируется теорема о неполноте и уточняется ее формулировка, в частности вводится центральное для данной брошюры понятие дедуктики. В §2 излагаются на неформальном уровне начальные понятия теории алгоритмов, и на их основе формулируются первые критерии полноты и неполноты. В §3 продолжается исследование критериев неполноты. В §4 описывается язык формальной арифметики, дается точное определение понятия истинности утверждения этого языка и точная формулировка теоремы Геделя о неполноте для формальной арифметики. В §5 на основе дальнейшего развития тех представлений об алгоритмах, которые были описаны в §2, - развития, закрепляемого в виде трех аксиом теории алгоритмов, - завершается доказательство теоремы о неполноте формальной арифметики.
Брошюра снабжена шестью приложениями, написанными несколько более сжато, хотя по-прежнему не предполагающими никаких специальных знаний. В первом из них рассматривается вопрос о связи между наличием истинных недоказуемых утверждений и наличием утверждений, не являющихся ни доказуемыми, ни опровержимыми. Во втором доказывается некоторое усиление теоремы Геделя - теорема Тарского о невыразимости понятия истины. Третье приложение посвящено обоснованию одной из аксиом теории алгоритмов, сформулированных в §5, а именно, аксиомы арифметичности. С этой целью вводится некоторый конкретный класс алгоритмов - класс адресных программ - и проверяется арифметичность функций, вычисляемых алгоритмами этого класса. В четвертом приложении развитые в §2 критерии полноты и неполноты применяются к языкам, связанным с так называемыми ассоциативными исчислениями. Пятое приложение посвящено первоначальной формулировке теоремы о неполноте, предложенной самим Геделем. Шестое приложение содержит упражнения к некоторым из предыдущих разделов. Наконец, последнее приложение содержит ответы и указания к упражнениям. Приложения не зависят друг от друга и могут читаться в любом порядке, за исключением приложения В, отдельные места которого требуют знакомства с введенными в приложении Б понятиями.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В брошюре доказываются знаменитая формула Эйлера для выпуклых многогранников и ее аналоги для других фигур (плоскости, пространства, многоугольников). Эти формулы естественно подводят читателя к понятию эйлеровой характеристики. Даются два ее определения и доказывается их равносильность. Рассказывается о роли эйлеровой характеристики в различных геометрических задачах: о разбиении плоскости и пространства, о вычислении площадей, о покрытиях сферы.
Брошюра рассчитана на школьников старших классов, студентов младших курсов и всех любителей математики.

ИЗ ИЗДАНИЯ: В брошюре содержится исчерпывающее изложение учения о системах линейных уравнений, опирающееся лишь на элементарные преобразования матриц.
Для широкого круга читателей, включая школьников старших классов, интересующихся математикой.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Теорема о неподвижной точке есть утверждение о том, что некоторое уравнение (или система уравнений) имеет решение. Доказываются топологические теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений отрезка, квадрата, окружности и сферы. В доказательствах используются различные формы комбинаторно-геометрической леммы Шпернера и понятие степени отображения.
Для школьников старших классов и студентов младших курсов вузов.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Содержит популярное изложение элементов теории дифференциальных игр и некоторых геометрических способов решения игр преследования на плоскости, базирующихся на использовании стратегии параллельного сближения (П-стратегия). Для конкретных задач преследования приведены и обоснованы оптимальные способы поведения преследующего и убегающего игроков.
Для широкого круга читателей, включая школьников старших классов, интересующихся математикой.

ИЗ ИЗДАНИЯ: Книга содержит историю и решения знаменитых задач древности, сыгравших важную роль в становлении математики. Изложение сопровождается интересными сведениями о развитии и методах математики в Древней Греции.
Для широкого круга любителей математики.