 |
- ⒶⒸГусак А.А... Справочник по высшей математике. [Djv-Fax-11.1M] [Pdf-Fax-13.0M] Справочник. Справочное издание. Авторы: Алексей Адамович Гусак, Галина Максимовна Гусак. Редактор: П.И. Монастырный.
(Минск: Издательство «Наука и техника», 1991)
Скан: fire_varan, обработка, формат Djv-Fax, Pdf-Fax: fire_varan, pohorsky, 2023
- СОДЕРЖАНИЕ:
I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (3).
Глава 1. Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве (4).
1.1. Координаты на прямой (4). 1.2. Координаты на плоскости (5). 1.3. Расстояние между двумя точками на плоскости (6). 1.4. Деление отрезка в данном отношении (6). 1.5. Центр тяжести системы масс (7). 1.6. Площадь треугольника (8). 1.7. Уравнение линии в декартовых координатах (8). 1.8. Пересечение линий (9). 1.9. Уравнение линии в полярных координатах (10). 1.10. Параметрические уравнения линии (II). 1.11. Преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости (12). 1.12. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве (13). 1.13. Расстояние между двумя точками в пространстве (14). 1.14 Цилиндрические и сферические координаты (14).
Глава 2. Линии на плоскости (16).
2.1. Прямая на плоскости (16). 2.2. Окружность (20). 2.3. Эллипс (21). 2.4. Гипербола (22).
2.5. Парабола (23). 2.6. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы (24). 2.7. Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка (25). 2.8. Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат (27). 2.9. Упрощение общего уравнения второй степени (29). 2.10. Некоторые алгебраические линии высших порядков (32). 2.11. Некоторые трансцендентные линии (41).
Глава 3. Векторы (46).
3.1. Основные понятия (46). 3.2. Линейные операции над векторами (47). 3.3. Проекция вектора на ось (49). 3.4. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора (49). 3.5. Переход от векторных соотношений к координатным (51). 3.6. Скалярное произведение двух векторов (52). 3.7. Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат (53). 3.8. Векторное произведение двух векторов (54). 3.9. Смешанное произведение трех векторов (56). 3.10. Линейная зависимость векторов (57). 3.11. Аффинные координаты (59).
Глава 4. Поверхности и линии в пространстве (60).
4.1. Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве (60). 4.2. Параметрические уравнения линии и поверхности (61). 4.3. Различные виды уравнения плоскости (62). 4.4. Различные виды уравнений прямой в пространстве (66). 4.5. Задачи, относящиеся к плоскостям (67).
4.6. Задачи, относящиеся к прямым в пространстве (69). 4.7. Задачи на прямую и плоскость (71). 4.8. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения (74). 4.9. Поверхности второго порядка (75). 4.10. Некоторые другие поверхности (79).
II. АЛГЕБРА 82 Глава 5. Матрицы и определители (83).
5.1. Матрицы. Основные определения (83). 5.2. Линейные действия над матрицами (85). 5.3. Произведение матриц. Многочлены от матриц (86). 5.4. Определители и их свойства (88). 5.5. Обратная матрица (91). 5.6. Ранг матрицы (94).
Глава 6. Системы линейных уравнений (97).
6.1. Линейные системы. Основные определения (97). 6.2 Матричная запись линейной системы (98). 6.3. Невырожденные линейные системы (99). 6.4. Произвольные линейные системы (101). 6.5. Метод Гаусса (102).
Глава 7. Комплексные числа (107).
7.1. Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними (107). 7.2. Понятие комплексного числа. Арифметическая форма комплексного числа (108). 7.3. Геометрическое изображение комплексных чисел (109). 7.4. Действия над комплексными числами (109). 7.5. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа (111).
7.6. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (112).
Глава 8. Алгебраические уравнения (115).
8.1. Алгебраические многочлены (115). 8.2. Корни многочлена. Теорема Безу (116). 8.3. Квадратные уравнения (119). 8.4. Кубические уравнения (119). 8.5. Уравнения четвертой степени (121) 8.6. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители (122) 8.7. Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей (123).
Глава 9. Линейные пространства (125).
9.1. Линейное пространство. Подпространство (125). 9.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства (126). 9.3. Размерность и базнс линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств (127). 9.4. Координаты вектора линейного пространства (128). 9.5. Ранг системы векторов линейного пространства (129). 9.6 Преобразование координат вектора при изменении базиса (129). 9.7. Евклидово пространство (130). 9.8. Унитарное пространство (133).
Глава 10. Линейные преобразования (линейные операторы) (135).
10.1. Линейное преобразование и его матрица (135). 10.2. Линейное преобразование в координатах (136). 10.3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы (137). 10.4. Характеристическое уравнение линейного преобразования (138). 10.5. Собственные векторы линейного преобразования (139). 10.6. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду (140). 10.7. Действия над линейными преобразованиями (141). 10.8. Невырожденные линейные преобразования. Преобразование, обратное данному (142). 10.9. Ортогональные матрицы (142). 10.10. Ортогональные преобразования (143).
Глава 11. Квадратичные формы (145).
11.1. Квадратичная форма и ее матрица (145). 11.2. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных (146). 11.3. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду (147). 11.4. Закон инерции квадратичных форм (147). 11.5. Знакоопределенные квадратичные формы (147). 11.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных (148). 11.7. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости (150). 11.8. Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве (152).
Глава 12. Группы (155).
12.1. Понятие группы. Основные определения (155). 12.2. Примеры групп (156). 12.3. Подгруппа (157). 12.4. Группа преобразований. Симметрическая группа n-й степени (157). 12.5. Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрии правильного треугольника (159). 12.6. Изоморфизм групп (160). 12.7. Разложение группы по подгруппе (161).
12.8. Нормальный делитель (161). 12.9. Классы сопряженных элементов (162). 12.10. Факторгруппа (162). 12.11. Гомоморфизм групп (163). 12.12. Представления групп (163).
III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (165).
Глава 13. Функции и пределы (166).
13.1. Понятие функции. Основные определения (166). 13.2. Предел последовательности (168) 13.3. Предел функции (169). 13.4. Бесконечно малые функции и их свойства (171) 13.5. Сравнение бесконечно малых функций (172). 13.6. Бесконечно большие функции (174) 13.7. Основные теоремы о пределах функций (174). 13.8. Некоторые важные пределы (175). 13.9. Непрерывность функции (177). 13.10. Точки разрыва функции (179). 13.11. Показательная функция.
Гиперболические функции (180).
Глава 14. Производные и дифференциалы (182).
14.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл (182). 14.2. Основные правила дифференцирования (184). 14.3. Основные формулы дифференцирования (185). 14.4. Дифференциал функции (188). 14.5. Основные теоремы дифференциального исчисления (191).
14.6. Формула Тейлора (192). 14.7. Формула Тейлора для некоторых функций (193). 14.8. Приближенные формулы (193).
Глава 15. Приложения производной (196).
15.1. Правило Лопиталя - Бернулли (196). 15.2. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции (198). 15.3. Экстремум функции (199). 15.4. Направления выпуклости, точки перегиба (201). 15.5. Асимптоты (202). 15.6. Исследование функция и построение их графиков (203).
15.7. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (204). 15.8. Дифференциал длины дуги кривой (205). 15.9. Кривизна плоской кривой (206). 15.10. Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента (207). 15.11. Переменная векторная величина. Вектор-функция скалярного аргумента (208). 15.12. Дифференцирование вектор-функций (209). 15.13. Уравнения касательной к пространственной линии. Кривизна пространственной линии (210).
Глава 16. Неопределенный интеграл (213).
16.1. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов (213). 16.2. Непосредственное интегрирование (215). 16.3. Метод подстановки (216). 16.4. Метод интегрирования по частям (217). 16.5. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе (220). 16.6. Интегрирование рациональных функций (222).
16.7. Интегрирование простейших иррациональных функций (223). 16.8. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений (226).
Глава 17. Определенный интеграл (228).
17.1. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства (228). 17.2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница (231). 17.3. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям (233). 17.4. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем (234). 17.5. Несобственные интегралы (235). 17.6. Интегралы Эйлера (238). 17.7. Площадь криволинейной фигуры (240). 17.8. Длина дуги кривой (244). 17.9. Объем тела. Площадь поверхности вращения (245).
Глава 18. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (248).
18.1. Множества в n-мерном пространстве (248). 18.2. Понятие функции нескольких переменных (249). 18.3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных (250). 18.4. Частные производные функции нескольких переменных (251). 18.5. Полный дифференциал функции нескольких переменных (252). 18.6. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора (254). 18.7. Дифференцирование неявных и сложных функций (256). 18.8. Экстремум функции нескольких переменных (257). 18.9. Условный экстремум (259). 18.10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (260). 18.11. Семейства линий и их огибающие. Семейства поверхностей и их огибающие (260).
Глава 19. Двойной интеграл (262).
19.1. Понятие двойного интеграла, его геометрический и механический смысл (262). 19.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах (263). 19.3. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах (267). 19.4. Вычисление площадей плоских областей (270). 19.5. Вычисление объемов тел (272). 19.6. Вычисление площадей поверхностей (275). 19.7. Приложения двойных интегралов в механике (278).
19.8. Несобственные двойные интегралы (281).
Глава 20. Тройной интеграл (285).
20.1. Понятие тройного интеграла. Оценка тройного интеграла (285). 20.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных координатах (286). 20.3. Замена переменных в тройном интеграле (288). 20.4. Приложения тройных интегралов (292).
Глава 21. Криволинейные интегралы (297).
21.1. Криволинейные интегралы первого рода (297). 21.2. Криволинейные интегралы второго рода (300). 21.3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (303). 21.4. Приложения криволинейных интегралов (305).
Глава 22. Интегралы по поверхности (309).
22.1. Поверхностные интегралы первого рода (309). 22.2. Поверхностные интегралы второго рода (311). 22.3. Формула Стокса. Формула Остроградского (314). 22.4. Приложения интегралов по поверхности (316).
Глава 23. Числовые ряды (319).
23.1. Основные понятия. Необходимый признак сходимости (319). 23.2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши (324). 23.3. Признак Д'Аламбера. Признак Коши. Другие признаки (326). 23.4. Знакопеременные ряды (328). 23.5. Действия над рядами (331).
Глава 24. Функциональные ряды (333).
24.1. Сходимость функциональных рядов (333). 24.2. Равномерная сходимость функциональных рядов (334). 24.3. Степенные ряды. Действия над степенными рядами (336). 24.4. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена (340). 24.5. Применения рядов в приближенных вычислениях (343). 24.6. Ряды Фурье (345). 24.7. Степенные ряды с комплексной переменной (349).
IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (353).
Глава 25. Дифференциальные уравнения первого порядка (355).
25.1. Уравнение с разделяющимися переменными (355). 25.2. Однородные уравнения (356). 25.3. Линейные уравнении Уравнение Бернулли (357). 25.4. Уравнения в полных дифференциалах (358). 25.5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (359).
Глава 26. Дифференциальные уравнения второго порядка (361).
26.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи понижения порядка (361). 26.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (363). 26.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (364).
Глава 27. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений (367).
27.1. Основные понятия (367). 27.2. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков (368). 27.3. Линейные однородные уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами (369). 27.4. Линейные неоднородные уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами (371). 27.5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (372). 27.6. Нормальные системы дифференциальных уравнений (373). 27.7. Применение матриц к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (375).
Глава 28. Дифференциальные уравнения с частными производными (378).
28.1. Основные определения (378). 28.2. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка (378). 28.3. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (380). 28.4. Основные дифференциальные уравнения математической физики (384).
Глава 29. Элементы векторного и тензорного анализа (387).
29.1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля (387). 29.2. Градиент скалярного поля. Производная по направлению (388). 29.3. Векторное поле. Векторные линии (390). 29.4. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Соленоидальное поле. Теорема Острофадского (391). 29.5. Циркуляция векторного поля (392). 29.6. Ротор векторного поля. Теорема Стокса (393). 29.7. Потенциальное поле (394). 29.8. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа (395). 29.9. Полилинейные функции векторного аргумента. Понятие тензора (396). 29.10. Действия над тензорами (399). 29.11. Тензоры в евклидовом пространстве (400). 29.12. Тензорное поле (401).
V. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ (403).
Глава 30. Приближенное решение уравнений (404).
30.1. Отделение корней уравнения (404). 30.2. Метод хорд (405). 30.3. Метод касательных (406). 30.4. Метод итераций (407). 30.5. Метод Чебышева (408).
Глава 31. Интерполирование функций (409).
31.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа (409). 31.2. Разности различных порядков Разделенные разности (410). 31.3. Интерполяционный многочлен Ньютона (412).
Глава 32. Приближенное вычисление определенных интегралов (416).
32.1. Формулы прямоугольников (416). 32.2. Формула трапеций (417). 32.3. Формула парабол (418). 32.4. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью рядов (419).
Глава 33. Приближенное решение дифференциальных уравнений (421).
33.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов (421). 33.2. Метод Эйлера (423) 33.3. Метод Рунге - Кутта (424).
VI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ (426).
Глава 34. Случайные события и их вероятности (427).
34.1. Классификация событий (427). 34.2. Действия над событиями. Соотношении между событиями (427). 34.3. Различные определения вероятности события (428). 34.4. Условия вероятность. Теорема умножении вероятностей. Независимость событий (430). 34.5. Формула полной вероятности. Теорема Бейеса (432).
Глава 35. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики (433).
35.1. Дискретные случайные величины (433). 35.2. Функция распределения. Плотность распределения (433). 35.3. Математическое ожидание случайной величины (435). 35.4. Дисперсия случайной величины (436). 35.5. Некоторые другие числовые характеристики (438). 35.6. Некоторые законы распределения случайных величин (438). 35.7. Основные теоремы теории вероятностей (441).
Глава 36. Элементы математической статистики и математической обработки результатов измерений (443).
36.1. Основные понятия математической статистики (443). 36.2. Доверительный интервал. Доверительная вероятность (446). 36.3. Оценка точного значения измеряемой величины (447). 36.4. Оценки точности измерений (448). 36.5. Эмпирические формулы (449).
Некоторые математические знаки и даты их возникновения (451).
Биографический словарь (453).
Предметный указатель (465).
ИЗ ИЗДАНИЯ: Справочник содержит теоретические сведения по многим разделам математики: аналитической геометрии, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, численным методам, теории вероятностей и ее приложениям. Включает примеры применения теории к решению задач, иллюстрации, соответствующие исторические сведения.
Рассчитан на инженерно-технических работников и других лиц, использующих математические методы в своей научной и практической деятельности, а также на студентов и аспирантов высших учебных заведений. |
 |
